(1) Zadana su dva vektora (\vec{a} = 5\vec{i} - 3\vec{j}) i (\vec{b} = -2\vec{i} + 5\vec{j}). Odredi koordinate vektora (\vec{c}) ako važi:

$$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $$

Rješenje zapiši kao uređeni par (x, y).

(2) Izračunaj linearnu kombinaciju vektora. Zadati su vektori (\vec{u} = ( 3, -3 )) i (\vec{v} = ( -4, 4 )). Odredi vektor (\vec{w}) prema formuli:

$$ \vec{w} = 3 \cdot \vec{u} - 4 \cdot \vec{v} $$

(3) Izračunaj dužinu (modul) rezultujućeg vektora (\vec{z} = \vec{a} - \vec{b}), ako su koordinate vektora zadate u tabeli:

Napomena: Duljina vektora \(\vec{v}(x, y)\) računa se formulom \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

(4) Tačke (A( 4, 3 )) i (B( 10, 9 )) određuju vektor (\vec{AB}). Tačka (C) ima koordinate (( 10, 1 )). Odredi koordinate vektora (\vec{d}) koji je zbir vektora (\vec{AB}) i radijus-vektora tačke (C) ((\vec{r_C})).

$$ \vec{d} = \vec{AB} + \vec{r_C} $$

(5) Reši vektorsku jednačinu i odredi nepoznati vektor (\vec{x}). Zadati su vektori (\vec{m} = ( 10, -6 )) i (\vec{n} = ( 6, 8 )).

$$ 2\vec{x} + \vec{n} = \vec{m} $$

(6) Na telo deluju dve sile, (\vec{F_1}) i (\vec{F_2}), pod pravim uglom (duž osa x i y). Izračunaj iznos (magnitudu) rezultujuće sile (\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}).

(7) Zadati su vektori (\vec{p} = (x, 9)) i (\vec{q} = ( 2, -3 )). Ako je zbir tih vektora (\vec{s} = \vec{p} + \vec{q}) jednak vektoru (( 15, y )), odredi nepoznate vrednosti (x) i (y).

(8) Čamac prelazi reku. Njegova brzina u odnosu na vodu je (\vec{v_c} = ( 4, 4.50 )) m/s, dok reka teče brzinom (\vec{v_r} = ( 3, -0.80 )) m/s. Koja je stvarna brzina čamca u odnosu na obalu ((\vec{v_u} = \vec{v_c} + \vec{v_r}))?

Rezultat izrazi kao vektor u koordinatnom sustavu.

(9) Proveri svojstvo asocijativnosti sabiranja vektora. Izračunaj levu stranu jednakosti za zadate vektore:

\(\vec{a} = (3, 2)\), \(\vec{b} = (-3, 3)\), \(\vec{c} = (7, -1)\)

$$ \vec{S} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} $$

(10) Odredi obim trougla čija su temena tačke (A(0,0)), (B(3, 0)) i (C(0, 12)) koristeći sabiranje i oduzimanje vektora za određivanje dužina stranica.

Uputa: Stranice su vektori \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) i \(\vec{CA}\). Izračunaj njihove duljine i zbroji ih.