(1) Частинні похідні полінома

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 7x^2y + 8xy^2 + 1x + 6y + 2 \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(2) Частинні похідні в точці

Дано функцію
\( f(x,y)= 5x^2 + 0xy + -5y^2 + 3x + 1y \).
Обчисліть частинні похідні першого порядку та їх значення в точці \( (x,y)=(0, -5) \).

(3) Частинні похідні функції третього ступеня

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 5x^3 + 3x^2y + 4xy^2 + 1y^3 + 7xy \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(4) Частинна похідна раціональної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= \frac{1x^2 + 3y}{7x + 4y} \).
Визначте частинну похідну \( \frac{\partial f}{\partial x} \).

(5) Частинні похідні степеневої функції

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 4x^{1}y^{5} + 2xy + 3y \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(6) Частинні похідні показникової функції

Дано функцію
\( f(x,y)= e^{4x + 5y} + 1xy + 3x \).
Визначте частинні похідні першого порядку.

(7) Частинні похідні тригонометричної функції

Визначте частинні похідні функції
\( f(x,y)= 2\sin(xy) + 1x\cos(y) + 6y + 3 \).
Обчисліть \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

(8) Частинні похідні логарифмічної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= \ln(2x + 3y) + 8xy + 7x \).
Визначте частинні похідні першого порядку.

(9) Частинні похідні другого порядку

Дано функцію
\( f(x,y)= 6x^2y + 4xy^2 + 3x + 2y \).
Обчисліть другі частинні похідні \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \) та \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \).

(10) Частинна похідна складеної функції

Дано функцію
\( f(x,y)= ( 1x + 2y )^{5} + 3xy \).
Визначте частинні похідні \( \frac{\partial f}{\partial x} \) та \( \frac{\partial f}{\partial y} \).