(1) Zbrajanje matrica i suprotna matrica

Zadane su matrice
\( A=\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 7 & 6 \end{pmatrix}. \)
a) Izračunaj matricu \( A+B \).
b) Odredi suprotnu matricu matrice \( A \) i zatim izračunaj \( A+(-A) \). Objasni dobiveni rezultat.

(2) Oduzimanje matrica i provjera svojstava

Zadane su matrice
\( C=\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Izračunaj matricu \( C-D \).
b) Provjeri vrijedi li jednakost \( C-D=-(D-C) \).

(3) Množenje matrice skalarom i distributivnost

Zadana je matrica
\( E=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \)
i skalari \( k=2 \) i \( m=-2 \).
a) Izračunaj matricu \( kE \).
b) Izračunaj \( (k+m)E \) i usporedi s \( kE+mE \).

(4) Umnožak matrica i nekomutativnost

Zadane su matrice
\( F=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad G=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Izračunaj umnožak \( FG \).
b) Izračunaj umnožak \( GF \).
c) Usporedi rezultate i zaključi je li množenje matrica komutativno u ovom slučaju.

(5) Transponiranje i svojstva transponiranja

Zadana je matrica
\( H=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 4 & 9 & 7 \end{pmatrix}. \)
a) Odredi transponiranu matricu \( H^T \).
b) Izračunaj \( (H^T)^T \) i usporedi s matricom \( H \).

(6) Distributivnost množenja matrica

Zadane su matrice
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \)
\( C=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. \)
a) Izračunaj \( A(B+C) \).
b) Izračunaj \( AB+AC \) i usporedi rezultate.

(7) Jedinična matrica i potencije

Zadana je matrica
\( K=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \)
i jedinična matrica \( I \) reda \( n=2 \).
a) Izračunaj \( KI \) i \( IK \).
b) Izračunaj \( K^2 \) i usporedi s \( KK \).

(8) Linearna kombinacija matrica

Zadane su matrice
\( M=\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}. \)
Za skalare \( a=4 \) i \( b=3 \):
a) Izračunaj \( aM-bN \).
b) Odredi matricu \( X \) takvu da vrijedi \( X+aN=bM \).

(9) Kvadrat matrice i razlika kvadrata

Zadana je matrica
\( L=\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. \)
a) Izračunaj \( L^2 \).
b) Izračunaj \( (L-I)(L+I) \), gdje je \( I \) jedinična matrica reda 2.

(10) Asocijativnost množenja matrica

Zadane su matrice
\( P=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad R=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}. \)
a) Izračunaj \( (PQ)R \).
b) Izračunaj \( P(QR) \).
c) Usporedi dobivene matrice i zaključi vrijedi li asocijativnost množenja u ovom primjeru.